Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{3} y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 4 x^{3} y)$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 4 \frac{1}{y} (x^{3} y)$

Bước 1.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y} (x^{3} y)$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{3} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y} (y x^{3})$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 4}{y} (y x^{3})$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 4 x^{3}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - 4 x^{3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 4 x^{3} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 4 x^{3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int x^{3} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ ở dạng $- 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - x^{4} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x^{4} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - x^{4} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{4} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- x^{4} + C}$ .

$| y | = e^{- x^{4} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{4} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- x^{4} + C}$ ở dạng $e^{- x^{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{4}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- x^{4}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{4}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- x^{4}}$