Giải tích Ví dụ

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 3$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $u$ ra ngoài $2 u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 2.3.5

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

Bước 3

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan (t)$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Bước 3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Bước 3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Bước 3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

Bước 5

Vì $u$ âm ở điều kiện ban đầu $(0, - 3)$ , nên chỉ xem xét $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ để tìm $K$ . Thay $0$ cho $t$ và $- 3$ cho $u$ .

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 3$ .

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 3$

Bước 6.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ ở dạng ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn ${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.1.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1.1

Cộng $0$ và $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2.1.2

Cộng $0$ và $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2.2.3

Nhân ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ với $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2.2.4

Nhân các số mũ trong ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.2.2.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$K^{1} = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.2.1.3

Rút gọn.

$K = {(- 3)}^{2}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$K = 9$

Bước 7

Thay $9$ cho $K$ trong $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $9$ bằng $K$ .

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 9}$