Giải tích Ví dụ

$x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 1.2

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Bước 1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 2 y^{2})]$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 (x^{2} + 2 y^{2})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Bước 2.5

Vì $2 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + 0)$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x)$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $4 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 4 x$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x = 4 x$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $4 x$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $x$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x - x}{M}$

Bước 4.3

Thay $x y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x y$ bằng $M$ .

$\frac{4 x - x}{x y}$

Bước 4.3.2

Trừ $x$ khỏi $4 x$ .

$\frac{3 x}{x y}$

Bước 4.3.3

Thay $x y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{x y}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{3}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $3 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{3})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{3} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$ với hệ số tích phân $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x y$ với $y^{3}$ .

$x y \cdot y^{3} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $y$ với $y^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $y^{3}$ .

$x (y^{3} y) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Bước 6.2.2

Nhân $y^{3}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$x (y^{3} y^{1}) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Bước 6.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x y^{3 + 1} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Bước 6.2.3

Cộng $3$ và $1$ .

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $2 (x^{2} + 2 y^{2})$ với $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) y^{3} d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 2 (2 y^{2})) y^{3} d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $2$ với $2$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 4 y^{2}) y^{3} d y = 0$

Bước 6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{2} y^{3}) d y = 0$

Bước 6.7

Nhân $y^{2}$ với $y^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Di chuyển $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 (y^{3} y^{2})) d y = 0$

Bước 6.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{3 + 2}) d y = 0$

Bước 6.7.3

Cộng $3$ và $2$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{4} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = x y^{4}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $y^{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $y^{4}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = y^{4} \int x d x$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $y^{4}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $\frac{y^{4}}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + C$

Bước 8.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.2

Kết hợp $\frac{y^{4}}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.3

Vì $\frac{x^{2}}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{4} x^{2}}{2}$ đối với $y$ là $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.5

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.6

Kết hợp $\frac{4 x^{2}}{2}$ và $y^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{2} y^{3}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.3.7.2.4

Chia $2 x^{2} y^{3}$ cho $1$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{3} x^{2} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $2 y^{3} x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 x^{2} y^{3}$ và $- 2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} x^{2} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Bước 12.1.2.2

Trừ $2 y^{3} x^{2}$ khỏi $2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5} + 0$

Bước 12.1.2.3

Cộng $4 y^{5}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $4 y^{5}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{5} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{5} d y$

Bước 13.3

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 4 \int y^{5} d y$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{5}$ đối với $y$ là $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{6}$ .

$g (y) = \frac{4}{6} y^{6} + C$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$g (y) = \frac{2 (2)}{6} y^{6} + C$

Bước 13.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

Bước 13.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

Bước 13.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \frac{2}{3} y^{6} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Bước 15.2

Kết hợp $\frac{y^{4}}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2 y^{6}}{3} + C$