Giải tích Ví dụ

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} = y + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2

Chia mỗi số hạng trong $(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ cho $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Bước 1.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Bước 1.4

Đưa $2 x + 3$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Bước 1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân với $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Bước 1.5.4

Chia ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.6

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{- y}{2 x + 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.7

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{- 1}{2 x + 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x + 3} y = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{- 1}{2 x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x + 3} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{2 x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{\int - \frac{1}{2 x + 3} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{2 x + 3} d x}$

Bước 2.2.3

Giả sử $u = 2 x + 3$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Hãy đặt $u = 2 x + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 2.2.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.3.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.2.3.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Bước 2.2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 2.2.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 2.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (2 x + 3)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{2 x + 3}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.5

Nhân $- \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $\frac{y}{2 x + 3}$ với $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.5.2

Nhân $2 x + 3$ với ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Nhân $2 x + 3$ với ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1.1

Nâng $2 x + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.5.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.5.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.5.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x + 3} d x$

Bước 7.2

Giả sử $u = 2 x + 3$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Hãy đặt $u = 2 x + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 7.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 7.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 7.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 7.2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 7.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 7.2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 7.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 7.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 7.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 7.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 7.6

Rút gọn.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 7.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $y$ .

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Bước 8.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn $(\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4.2.1.2.2

Sắp xếp lại ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$ và $C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$