Giải tích Ví dụ

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Bước 1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ .

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Bước 1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

Bước 1.2.2

Cộng $y \sin (\frac{y}{x})$ cho cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

Bước 1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ cho $x \sin (\frac{y}{x})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ cho $x \sin (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (\frac{y}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.3.1.2

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ sang $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.3.1.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (\frac{y}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Bước 1.3.3.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- \csc (V) + V - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

Bước 6.1.1.1.2.2

Cộng $- \csc (V)$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Bước 6.1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\csc (V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{\csc (V)}$ vào tử số.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Bước 6.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Bước 6.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Viết lại $\csc (V)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.3

Nhân $\sin (V)$ với $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Tích phân của $\sin (V)$ đối với $V$ là $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.2.2

Chia $\cos (V)$ cho $1$ .

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.3.1.2

Chia $\ln (| x |)$ cho $1$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Bước 6.3.1.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Bước 6.3.1.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

Bước 6.3.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $V$ từ trong cosin.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

Bước 6.4

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$