Giải tích Ví dụ

$(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x y + y + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y + y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + y + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 2 y$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.4

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x + 2 y + 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y + 1 = 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x + 2 y + 1 = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x + 2 y + 1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{N}$

Bước 4.3

Thay $x + 2 y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x + 2 y$ bằng $N$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{x + 2 y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{x + 2 y + 0}{x + 2 y}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $x + 2 y$ và $0$ .

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x y + y + y^{2}$ với $e^{x}$ .

$(x y + y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x + 2 y$ với $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) e^{x} d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y$

Bước 8.3

Vì $2 e^{x}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 e^{x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y$

Bước 8.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.5

Rút gọn.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} e^{x} y^{2} + C$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Bước 8.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Bước 8.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = x e^{x} y + 1 e^{x} y^{2} + C$

Bước 8.6.3

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x e^{x} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.5

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.4

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{x} y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.6.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

Bước 12.1.2

Trừ $y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Bước 12.1.3

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.4.2

Cộng $y e^{x} + y^{2} e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.4.3

Trừ $y e^{x}$ khỏi $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.4.4

Cộng $y^{2} e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.4.5

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 13.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 13.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} + C$