Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} + y = e^{- t}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int d t}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{t + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{t}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} e^{- t}$

Bước 2.2

Nhân $e^{t}$ với $e^{- t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t - t}$

Bước 2.2.2

Trừ $t$ khỏi $t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{0}$

Bước 2.3

Rút gọn $e^{0}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = 1$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = 1$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{t} y = \int d t$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{t} y = t + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{t} y = t + C$ cho $e^{t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{t} y = t + C$ cho $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$