Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 e^{- 4 x}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 4 e^{- 4 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 4 e^{- 4 x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 4 e^{- 4 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int e^{- 4 x} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = - 4 x$ . Sau đó $d u = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = 4 \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{4} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Bước 2.3.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$y + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 x$ .

$y + C_{1} = - e^{- 4 x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - e^{- 4 x} + K$