Giải tích Ví dụ

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 2.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x = 2 x$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $x$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $2 x$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Bước 5.3

Thay $x^{2}$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $x^{2}$ bằng $N$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x - 1 \cdot 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Bước 5.3.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Bước 5.3.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Bước 5.3.2.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Bước 5.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Bước 5.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x}$

Bước 5.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 6.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn $- \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Bước 6.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $x y + x^{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $x y + x^{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7.3

Đưa $x$ ra ngoài $x y + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7.4.2

Chia $y + x$ cho $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $x^{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 7.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 7.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 7.6.3

Viết lại biểu thức.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x y + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Bước 12.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y + x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Trừ $y$ khỏi $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 13.1.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 14.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$