Giải tích Ví dụ

$(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x + 6 x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 6 x^{2} y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 6 x^{2} y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $6 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $6 x^{2} y$ đối với $y$ là $6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2}$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $6 x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x^{3} - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{3} - 2 x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x y$ đối với $x$ là $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $6 x^{2}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $9 x^{2} - 2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $6 x^{2}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $9 x^{2} - 2 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $3 x^{3} - 2 x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $3 x^{3} - 2 x y$ bằng $N$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2}) - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Bước 4.3.2.4

Trừ $9 x^{2}$ khỏi $6 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Bước 4.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{3} - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) - 2 x y}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x y$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3 x^{2} + 2 y$ và $3 x^{2} - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Bước 4.3.4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Bước 4.3.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Bước 4.3.4.4

Viết lại $- (3 x^{2} - 2 y)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Bước 4.3.4.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Bước 4.3.4.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x}$

Bước 4.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2 x + 6 x^{2} y$ với $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + 6 x^{2} y) \frac{1}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $2 x + 6 x^{2} y$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x + 6 x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 x (1) + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.3.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x (1) + 2 x (3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.3.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (1) + 2 x (3 x y)$ .

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.4.2

Chia $2 (1 + 3 x y)$ cho $1$ .

$2 (1 + 3 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 \cdot 1 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $2$ với $1$ .

$(2 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.7

Nhân $3$ với $2$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Bước 6.8

Nhân $3 x^{3} - 2 x y$ với $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 6.9

Nhân $3 x^{3} - 2 x y$ với $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{3 x^{3} - 2 x y}{x} d y = 0$

Bước 6.10

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{3} - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{3}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) - 2 x y}{x} d y = 0$

Bước 6.10.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x y$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}{x} d y = 0$

Bước 6.10.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Bước 6.11

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Bước 6.11.2

Chia $3 x^{2} - 2 y$ cho $1$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{2} - 2 y) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 + 6 x y d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 + 6 x y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 d x + \int 6 x y d x$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 2 x + C + \int 6 x y d x$

Bước 8.3

Vì $6 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y \int x d x$

Bước 8.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 8.5

Rút gọn.

$f (x, y) = 2 x + 6 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + C$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{6}{2} y x^{2} + C$

Bước 8.6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2} y x^{2} + C$

Bước 8.6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y x^{2} + C$

Bước 8.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y x^{2} + C$

Bước 8.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 2 x + \frac{3}{1} y x^{2} + C$

Bước 8.6.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x + 3 y x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.2.2

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $3 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y x^{2}$ đối với $y$ là $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Cộng $0$ và $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 11.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} = 3 x^{2} - 2 y$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $3 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $- 2 y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- 2 y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Bước 13.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Bước 13.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Bước 13.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Bước 13.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Bước 13.5.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} - y^{2} + C$