Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 0.5 y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.5 y)$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.5 \frac{1}{y} y$

Bước 1.2.2

Kết hợp $- 0.5$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.5}{y} y$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $0.5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $0.5$ ra ngoài $- 0.5$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.5 (- 1)}{y} y$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.5 \cdot - 1}{y} y$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2}$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2}$

Bước 1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2} d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \frac{1}{2} x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x}{2} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{x}{2} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{x}{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{x}{2}}$