Giải tích Ví dụ

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 1.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Bước 1.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Bước 1.3.4

Rút gọn.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Bước 1.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

Bước 2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

Bước 2.2.2

Để viết $x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

Bước 2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

Bước 2.2.5

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} + x \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

Bước 2.2.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

Bước 2.2.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x (3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

Bước 2.2.6

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 2.2.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Kết hợp $K$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Bước 2.2.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

Bước 2.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Bước 2.2.8.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Bước 2.2.8.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Bước 2.2.8.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Bước 2.2.8.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Bước 2.2.8.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

Bước 2.2.9

Viết lại $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Bước 2.2.10

Nhân $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 2.2.11

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Nhân $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 2.2.11.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 2.2.11.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 2.2.11.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 2.2.11.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 2.2.11.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.2.11.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.2.11.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.2.11.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.2.11.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 2.2.11.6.5

Tính số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.2.12

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Bước 2.2.13

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Bước 2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Bước 2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Bước 2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Bước 3

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$