Giải tích Ví dụ

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (x)$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(x + 1) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.9

Nhân $y$ với $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (x)$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(x + 1) y = \int \ln (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int d x$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$(x + 1) y = \ln (x) x - (x + C)$

Bước 5.4

Rút gọn.

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ cho $x + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ cho $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\ln (x) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\ln (x) x - x + C}{x + 1}$

Bước 6.3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$