Giải tích Ví dụ

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - x + x y \cot (x)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Bước 1.2.3

Vì $- x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x \cot (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y \cot (x)$ đối với $y$ là $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x \cot (x) + 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cot (x) + 1 = 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x \cot (x) + 1 = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x \cot (x) + 1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

Bước 4.3

Thay $x$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x$ bằng $N$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $x \cot (x)$ và $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Bước 4.3.3.2

Chia $\cot (x)$ cho $1$ .

$\cot (x)$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \cot (x) d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ với hệ số tích phân $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y - x + x y \cot (x)$ với $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Bước 6.2.2

Nhân $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Bước 6.2.2.2

Kết hợp $y$ và $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Bước 6.4.2

Viết lại biểu thức.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x \sin (x)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \sin (x) y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x \sin (x) y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.3.5

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 11.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x y \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

Bước 12.1.2

Trừ $y \sin (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $y x \cos (x)$ và $- x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Bước 12.1.3.2

Trừ $x y \cos (x)$ khỏi $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Bước 12.1.3.3

Cộng $y \sin (x) - x \sin (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

Bước 12.1.3.4

Trừ $y \sin (x)$ khỏi $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Bước 12.1.3.5

Cộng $- x \sin (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- x \sin (x)$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Bước 13.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Bước 13.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Bước 13.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Bước 13.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Bước 13.6.2

Nhân $\int \cos (x) d x$ với $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Bước 13.7

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Bước 13.8

Viết lại $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ ở dạng $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Bước 15.1.2

Nhân $- (- x \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Bước 15.1.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$