Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{4} - y^{2} + x^{4} - 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{4} - y^{2}) + x^{4} - 1$

Bước 1.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1)$

Bước 1.1.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x^{4} - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{4} - 1) (y^{2} + 1)$

Bước 1.1.3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Bước 1.1.4

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Bước 1.1.5

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x^{2}$ và $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Bước 1.1.6.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (y^{2} + 1)$

Bước 1.1.6.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1))$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $y^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Bước 1.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

Bước 1.3.2

Khai triển $(x^{2} + 1) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Bước 1.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Bước 1.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Bước 1.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Bước 1.3.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Bước 1.3.3.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Bước 1.3.3.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Bước 1.3.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Bước 1.3.3.4

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Bước 1.3.4

Khai triển $(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.1.2

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.3

Viết lại $- 1 x^{3}$ ở dạng $- x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.4

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.4.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.4.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.4.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.6

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.7

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.8

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.9

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.10

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.5.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Bước 1.3.6

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $- x^{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Bước 1.3.6.2

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Bước 1.3.6.3

Cộng $- x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x + x - 1$

Bước 1.3.6.4

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x + x - 1$

Bước 1.3.6.5

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - 1$

Bước 1.3.6.6

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{4} - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - x + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{5} x^{5} - x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\frac{1}{5} x^{5} - x + K)$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$y = \tan (\frac{x^{5}}{5} - x + K)$