Giải tích Ví dụ

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (y - 2 x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (y - 2 x y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 2 x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Bước 2.4

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Bước 2.6

Vì $- 2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x y$ đối với $x$ là $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Bước 2.9

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = 2 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $- (y - 2 x y)$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $- (y - 2 x y)$ bằng $N$ .

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $2 y$ khỏi $0$ .

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Bước 4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 x y$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

Bước 4.3.3.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

Bước 4.3.5

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{2}{1 - 2 x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

Bước 5.2

Giả sử $u = 1 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Hãy đặt $u = 1 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Tính đạo hàm $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 5.2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 5.2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 5.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 5.2.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 5.2.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 5.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Bước 5.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 5.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

Bước 5.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 5.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Bước 5.9

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Bước 5.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 2 x$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

Bước 5.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Rút gọn $- \ln (| 1 - 2 x |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

Bước 5.11.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

Bước 5.11.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

Bước 6

Nhân $1$ với $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = - y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int y d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.3

Viết lại $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Bước 11.3

Vì $- \frac{1}{2} y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{1}{2} y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Bước 11.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\frac{1}{1 - 2 x}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Bước 12.3

Giả sử $u = 1 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Hãy đặt $u = 1 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1

Tính đạo hàm $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 12.3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 12.3.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 12.3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 12.3.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 12.3.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 12.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 12.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 12.4.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 12.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Bước 12.4.4

Nhân $2$ với $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Bước 12.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 12.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 12.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 12.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 12.9

Rút gọn.

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 12.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 2 x$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Bước 13

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Bước 14

Rút gọn $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Bước 14.1.2

Nhân $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.2.1

Sắp xếp lại $\ln (| 1 - 2 x |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

Bước 14.1.2.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 14.2

Để viết $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 14.3

Kết hợp $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 14.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Nhân $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Bước 14.5.1.2

Rút gọn $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Bước 14.5.2

Nhân các số mũ trong ${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Bước 14.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Bước 14.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

Bước 14.5.3

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$