Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 4 x$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Bước 2.3.6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$