Giải tích Ví dụ

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x^{2} y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Bước 1.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Bước 1.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Bước 1.6

Di chuyển $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Bước 5.4

Rút gọn.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Bước 8

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Bước 8.2

Rút gọn $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Bước 8.2.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Bước 8.2.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Bước 8.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Bước 8.2.4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Bước 8.2.4.3

Chia $C$ cho $1$ .

$- 1 + C = 2$

Bước 8.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 2 + 1$

Bước 8.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$C = 3$

Bước 9

Thay $3$ cho $C$ trong $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay $3$ bằng $C$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$