Giải tích Ví dụ

$x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y = x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Bước 3.1.2

Đưa ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Bước 3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Bước 3.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $y$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Bước 3.3.2

Đưa ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x d x$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Bước 4.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4.2.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Bước 4.2.1.1.5

Cộng $0$ và $2 y$ .

$2 y$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Di chuyển ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.4.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{1}$ là $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.6.2.3

Nhân ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giả sử $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 4.3.1.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 4.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $\frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 4.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Bước 4.3.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Di chuyển ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 4.3.4.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 4.3.4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{2}$ là $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.6.2.3

Nhân ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$