Giải tích Ví dụ

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Bước 1

Trừ $(1 + \ln (x)) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (y)$ và $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Rút gọn.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Trừ $y$ khỏi $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.6.2.2

Cộng $\ln (y) y$ và $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Bước 2.3.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$