Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 4 x y = 2 x$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 4 x d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 \int x d x}$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{4}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{2}{1} x^{2} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$e^{2 x^{2} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 x^{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{2 x^{2}} (4 x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Bước 2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 x y e^{2 x^{2}} = 2 x e^{2 x^{2}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] = 2 x e^{2 x^{2}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 x^{2}} y = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int x e^{2 x^{2}} d x$

Bước 6.2

Giả sử $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 4 x e^{2 x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = x e^{2 x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{2 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}}]$

Bước 6.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 6.2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 6.2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x^{2}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{2 x^{2}} (2 (2 x))$

Bước 6.2.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{2 x^{2}} (4 x)$

Bước 6.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{2 x^{2}} (4 x)$ .

$4 e^{2 x^{2}} x$

Bước 6.2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 e^{2 x^{2}} x$ .

$4 x e^{2 x^{2}}$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Bước 6.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Bước 6.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2}{4} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Bước 6.4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Bước 6.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ cho $e^{2 x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ cho $e^{2 x^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $\frac{1}{2}$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$