Giải tích Ví dụ

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + y^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4.2

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

Bước 2.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y = y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Bước 4.3

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y - 1 \cdot 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.1.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Bước 4.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Bước 4.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{y}$

Bước 4.3.4

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y^{2}$ với $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x y + y^{2} - 1$ với $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x y + y^{2} - 1$ với $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 11.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

Bước 12.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Tách phân số $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ thành hai phân số.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Bước 12.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Bước 12.1.2.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Bước 12.1.2.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Bước 12.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Bước 12.1.2.2.2.2

Chia $x + y$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

Bước 12.1.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + y - \frac{1}{y} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

Bước 12.1.3.2

Cộng $y - \frac{1}{y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $y - \frac{1}{y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

Bước 13.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Bước 13.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

Bước 13.6

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

Bước 13.7

Rút gọn.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$