Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.3

Viết lại $\sec (y)$ theo sin và cosin.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.5

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.2

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (y)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.6

Giả sử $u = 2 y$ . Sau đó $d u = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Hãy đặt $u = 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 2.2.6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.2.6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.7

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.10

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.12.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.12.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.12.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.12.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$