Giải tích Ví dụ

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ cho $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 1.3

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Bước 2.2.2

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 2.2.2.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 2.2.2.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Bước 2.2.2.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.7.1.2

Chia $(A) (x - 1)$ cho $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.7.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.7.4

Viết lại $- 1 A$ ở dạng $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.7.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.7.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 2.2.2.1.7.5.2

Chia $(B) (x + 1)$ cho $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Bước 2.2.2.1.7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Bước 2.2.2.1.7.7

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Bước 2.2.2.1.8

Di chuyển $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Bước 2.2.2.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + B$

Bước 2.2.2.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.2.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.2.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Giải tìm $A$ trong $0 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.2.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.2.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $1 = - 1 A + B$ bằng $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.2.2.1

Rút gọn $- 1 (- B) + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.2.2.1.1

Nhân $- 1 (- B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.2.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.2.2.1.1.2

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.2.2.1.2

Cộng $B$ và $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.3

Giải tìm $B$ trong $1 = 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.3.2.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 2.2.2.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $\frac{1}{2}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - B$ bằng $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 2.2.2.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 2.2.2.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Bước 2.2.2.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 2.2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 2.2.2.5.2

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 2.2.2.5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 2.2.2.5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Bước 2.2.2.5.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Bước 2.2.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Bước 2.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Bước 2.2.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Bước 2.2.6

Giả sử $u_{1} = x + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Hãy đặt $u_{1} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.2.6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.6.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Bước 2.2.7

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Bước 2.2.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Bước 2.2.9

Giả sử $u_{2} = x - 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Hãy đặt $u_{2} = x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2.2.9.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.9.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.9.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Bước 2.2.10

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Bước 2.2.11

Rút gọn.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Bước 2.2.12

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.12.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Bước 2.2.12.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Bước 2.2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.1.1

Kết hợp $\ln (| x + 1 |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Bước 2.2.13.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Bước 2.2.13.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Bước 2.2.13.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Bước 2.2.13.3.2

Viết lại biểu thức.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

Bước 2.5

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

Bước 2.6

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

Bước 2.7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

Bước 2.8

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{x - 1}{x + 1}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.2.2

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ và $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.5

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.6

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.7

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2.9

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.3

Để viết $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${(x + 1)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.4.2

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.4.3

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.2

Viết lại $- 1 \frac{d y}{d x}$ ở dạng $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.3

Khai triển $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.4.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.4.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.4.2

Trừ $\frac{d y}{d x} x$ khỏi $x \frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.2.1

Di chuyển $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.4.2.2

Trừ $x \frac{d y}{d x}$ khỏi $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.6.4.3

Cộng $x^{2} \frac{d y}{d x}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 3.7

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đưa $x + 1$ ra ngoài ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Bước 3.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

Bước 3.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 3.8.2

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 3.9

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Bước 3.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Bước 3.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Bước 3.10

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Bước 3.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{x - 1}{x + 1}$ và $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

Bước 8.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế với $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Rút gọn $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Bước 8.3.1.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

Bước 8.3.1.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

Bước 8.3.1.1.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

Bước 8.3.1.1.2

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

Bước 8.3.1.1.3

Sắp xếp lại $y$ và $x$ .

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(x + C) (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Khai triển $(x + C) (x + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

Bước 8.3.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

Bước 8.3.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Bước 8.3.2.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Bước 8.3.2.1.2.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

Bước 8.3.2.1.2.1.3

Nhân $C$ với $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

Bước 8.3.2.1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

Bước 8.3.2.1.2.2.2

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $C x$ .

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

Bước 8.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

Bước 8.4.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

Bước 8.4.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

Bước 8.4.2

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ cho $x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ cho $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $C x + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $C x$ .

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x C + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.4.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.4.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.4.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

Bước 8.4.2.3.4.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$