Giải tích Ví dụ

$(x - 2 y) d x - (2 x + y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Bước 1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (2 x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + y)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (2 x + y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [2 x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.7

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

Bước 2.8.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 2 = - 2$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 x + y) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = - (2 x + y)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int 2 x + y d y$

Bước 5.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = - (\int 2 x d y + \int y d y)$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (2 x y + C + \int y d y)$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y + \frac{y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3.3

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3.5

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3.7

Cộng $2 y$ và $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.3.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $2 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 2 y$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 y + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $- 2 y$ và $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - (2 x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$