Giải tích Ví dụ

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Bước 1.3.2

Chia $2 y$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Bước 3.3

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{e^{x}}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 x}$ và $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân với $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Bước 3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

Bước 3.4.2.4

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

Bước 7

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} y = e^{x} + C$ cho $e^{2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} y = e^{x} + C$ cho $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2.4

Chia $e^{- x}$ cho $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$