Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$

Bước 1

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $y = e^{r x}$ .

Bước 2

Tìm phương trình đặc trưng của $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Bước 2.3

Thay vào phương trình vi phân.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Bước 2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Bước 2.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Bước 2.5.2

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $4 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Bước 2.5.3

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Bước 2.5.4

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4 = 2 x + 6$

Bước 2.5.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r + 4) = 2 x + 6$

Bước 2.6

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 r + 4 = 2 x + 6$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái của phương trình và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x = 6$

Bước 3.1.1.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x - 6 = 0$

Bước 3.1.2

Trừ $6$ khỏi $4$ .

$r^{2} + 4 r - 2 x - 2 = 0$

Bước 3.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 4$ , và $c = - 2 x - 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.6

Cộng $16$ và $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.7

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.7.2

Đưa $8$ ra ngoài $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.7.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.8

Viết lại $8 (x + 3)$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.4

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.5

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.6

Cộng $16$ và $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.7

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.7.2

Đưa $8$ ra ngoài $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.7.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.8

Viết lại $8 (x + 3)$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Bước 3.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.4

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.5

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.6

Cộng $16$ và $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.7

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.7.2

Đưa $8$ ra ngoài $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.7.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.8

Viết lại $8 (x + 3)$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Bước 3.6.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Bước 3.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Bước 3.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Bước 4

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Bước 5

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 (x + 3)} x}$