Giải tích Ví dụ

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ cho $x e^{- t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ cho $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Bước 1.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Bước 1.1.2.2.2

Chia $\frac{d x}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Bước 1.4.3

Nhân $t$ với $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Làm âm số mũ của $e^{- t}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Bước 2.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $- t \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Bước 2.3.1.2.2.2

Nhân $t$ với $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Bước 2.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Bước 3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Bước 3.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Bước 3.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Bước 3.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Bước 3.4.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Bước 4

Vì $x$ dương ở điều kiện ban đầu $(0, 1)$ , nên chỉ xem xét $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ để tìm $K$ . Thay $0$ cho $t$ và $1$ cho $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Bước 5

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Bước 5.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ ở dạng ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Nhân $0$ với $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.3

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.3.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.3.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Bước 5.3.2.1.3.3.2

Rút gọn.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 + 2 K = 1$

Bước 5.4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 K = 1 + 2$

Bước 5.4.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$2 K = 3$

Bước 5.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 K = 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 K = 3$ cho $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Bước 5.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Bước 5.4.2.2.1.2

Chia $K$ cho $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Bước 6

Thay $\frac{3}{2}$ cho $K$ trong $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay $\frac{3}{2}$ bằng $K$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Bước 6.3

Để viết $e^{t} t$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Bước 6.4

Kết hợp $e^{t} t$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Bước 6.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Bước 6.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Bước 6.7

Để viết $- e^{t}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Bước 6.8

Kết hợp $- e^{t}$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Bước 6.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Bước 6.10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Bước 6.11

Kết hợp $2$ và $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Bước 6.12

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Bước 6.12.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Bước 6.12.2

Chia $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ cho $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Bước 6.13

Sắp xếp lại các thừa số trong $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$