Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{2}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Bước 2.2.4

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.2.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(x + 1)}^{- 2}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{2}{x + 1}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{2 y}{x + 1}$ với $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $x + 1$ với ${(x + 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Nhân $x + 1$ với ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.2.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.2.4.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa ${(x + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Bước 7.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Bước 7.4

Rút gọn.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ và $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.3

Để viết $x {(x + 1)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.4

Kết hợp $x {(x + 1)}^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.6

Đưa $x {(x + 1)}^{2}$ ra ngoài $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.6.1

Đưa $x {(x + 1)}^{2}$ ra ngoài $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.6.2

Đưa $x {(x + 1)}^{2}$ ra ngoài $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.6.3

Đưa $x {(x + 1)}^{2}$ ra ngoài $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Bước 8.4.2.1.7

Để viết $C {(x + 1)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 8.4.2.1.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.8.1

Kết hợp $C {(x + 1)}^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Bước 8.4.2.1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Bước 8.4.2.1.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.9.1

Đưa ${(x + 1)}^{2}$ ra ngoài $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.9.1.1

Đưa ${(x + 1)}^{2}$ ra ngoài $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Bước 8.4.2.1.9.1.2

Đưa ${(x + 1)}^{2}$ ra ngoài $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

Bước 8.4.2.1.9.1.3

Đưa ${(x + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

Bước 8.4.2.1.9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Bước 8.4.2.1.9.3

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Bước 8.4.2.1.9.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

Bước 8.4.2.1.9.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$