Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + x^{2} - y)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- y)$

Bước 1.2

Trừ $2 x (- y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - 2 x (- y) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 1 \cdot 2 x + 2 x^{2} x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 2 \cdot - 1 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 x d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- 2 \cdot - 1 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$e^{\int 2 x d x}$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int x d x}$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Bước 2.2.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 x^{2} + C}$

Bước 2.2.4.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x^{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (- 2 \cdot - 1 x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Bước 3.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Bước 3.3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x)$

Bước 3.3.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x^{1})$

Bước 3.3.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{2 + 1}$

Bước 3.3.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 7.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 7.3

Giả sử $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 7.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.3.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 7.3.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Bước 7.3.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Bước 7.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{2} d u_{2} + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 7.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 7.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Bước 7.6

Giả sử $u_{3} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{3} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Hãy đặt $u_{3} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.6.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 7.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 7.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 7.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3}}{2} e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 7.7.3

Kết hợp $\frac{u_{3}}{2}$ và $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3} e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Bước 7.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3})$

Bước 7.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 7.9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 7.9.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 1 \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 7.9.3

Nhân $\int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$ với $1$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 7.10

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u_{3}$ và $dv = e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 7.11

Tích phân của $e^{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - (e^{u_{3}} + C)$

Bước 7.12

Rút gọn.

$e^{x^{2}} y = u_{2} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Bước 7.13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Bước 7.13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

Bước 7.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.1

Trừ $e^{x^{2}}$ khỏi $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + 0 + C$

Bước 7.14.2

Cộng $x^{2} e^{x^{2}}$ và $0$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ cho $e^{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ cho $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Bước 8.3.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$