Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 15$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $20$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $20$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 5 t^{2} - 3$ . Sau đó $d u = 10 t d t$ , nên $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 5 t^{2} - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $5 t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 t^{2} - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t^{2}$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $2$ với $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$10 t + 0$

Bước 2.3.2.1.4.2

Cộng $10 t$ và $0$ .

$10 t$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{10}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $20$ .

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $20$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $10$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Bước 2.3.5.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 t^{2} - 3$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $t$ và $15$ cho $s$ trong $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ .

$15 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 15$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 15$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 15$

Bước 4.2.1.2

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 15$

Bước 4.2.2

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 15$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 15$

Bước 4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 15$

Bước 4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$2^{3} + K = 15$

Bước 4.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 + K = 15$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 15 - 8$

Bước 4.3.2

Trừ $8$ khỏi $15$ .

$K = 7$

Bước 5

Thay $7$ cho $K$ trong $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $7$ bằng $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + 7$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.3

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.6

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.7

Nhân $125$ với $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.8

Nhân $- 3$ với $500$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.10

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.11

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.11.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.12

Nhân $25$ với $6$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.13

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.14

Nhân $9$ với $150$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.15

Nhân $5$ với $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.16

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.17

Nhân $- 27$ với $20$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) + 7$

Bước 5.2.2.18

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) + 7$

Bước 5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân $\frac{1}{2} (625 t^{8})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Kết hợp $625$ và $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.1.2

Kết hợp $\frac{625}{2}$ và $t^{8}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 1500 t^{6}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $1350 t^{4}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 540 t^{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 + 7$

Bước 5.2.4.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 7$

Bước 5.3

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 5.4

Kết hợp $7$ và $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 7 \cdot 2}{2}$

Bước 5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $7$ với $2$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 14}{2}$

Bước 5.6.2

Cộng $81$ và $14$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{95}{2}$