Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $4 x^{3} y - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

Bước 1.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

Bước 1.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ .

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{x^{4} - x + C}$ ở dạng $e^{x^{4} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x^{4} - x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{x^{4} - x}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $- 3$ cho $y$ trong $y = C e^{x^{4} - x}$ .

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ .

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

Bước 6.2

Rút gọn $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$C e^{1 - 1} = - 3$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$C e^{0} = - 3$

Bước 6.2.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C \cdot 1 = - 3$

Bước 6.2.2.3

Nhân $C$ với $1$ .

$C = - 3$

Bước 7

Thay $- 3$ cho $C$ trong $y = C e^{x^{4} - x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $- 3$ bằng $C$ .

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$