Giải tích Ví dụ

$(2 x y - \sec^{2} (x)) d x + (x^{2} + 2) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y - \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - \sec^{2} (x)]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y - \sec^{2} (x)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- \sec^{2} (x)$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- \sec^{2} (x)$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Bước 2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x = 2 x$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{2} + 2$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 2 d y$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 2 d y$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 2 y + C$

Bước 5.4

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 y + g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + 2 y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.4

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $2 y x$ và $0$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x) - 2 x y$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x y - \sec^{2} (x) - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - \sec^{2} (x)$

Bước 9.1.2.2

Trừ $\sec^{2} (x)$ khỏi $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - \sec^{2} (x)$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- \sec^{2} (x)$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - \sec^{2} (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \sec^{2} (x) d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \sec^{2} (x) d x$

Bước 10.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 10.4

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$g (x) = - (\tan (x) + C)$

Bước 10.5

Rút gọn.

$g (x) = - \tan (x) + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{2} y + 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y - \tan (x) + C$