Giải tích Ví dụ

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $r$ ra ngoài $r θ + r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $r$ ra ngoài $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Bước 1.1.2

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Bước 1.1.3

Đưa $r$ ra ngoài $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Bước 1.1.4

Đưa $r$ ra ngoài $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Bước 1.2

Đưa $θ$ ra ngoài $r θ + θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $θ$ ra ngoài $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Bước 1.2.2

Nâng $θ$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Bước 1.2.3

Đưa $θ$ ra ngoài $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Bước 1.2.4

Đưa $θ$ ra ngoài $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Bước 1.3

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Bước 1.4

Nhân cả hai vế với $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $\frac{r}{r + 1}$ với $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $r + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $r + 1$ ra ngoài $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Bước 1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Bước 1.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Bước 1.6

Viết lại phương trình.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{r}$ đối với $r$ là $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{θ}$ đối với $θ$ là $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $θ$ và $e$ cho $r$ trong $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Bước 4.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Bước 4.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Bước 4.4

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Bước 4.5

$e$ xấp xỉ $2.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Bước 4.6

Viết lại $\frac{1}{e}$ ở dạng $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Bước 4.7

Viết lại $\ln (1 e^{- 1})$ ở dạng $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Bước 4.8

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $- 1$ ra khỏi số mũ.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Bước 4.9

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Bước 4.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Bước 4.11

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Bước 4.12

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Bước 4.13

Vì $C$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- 1 - C + e = - 1$

Bước 4.14

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- C + e = - 1 + 1$

Bước 4.14.2

Trừ $e$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- C = - 1 + 1 - e$

Bước 4.14.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- C = 0 - e$

Bước 4.14.4

Trừ $e$ khỏi $0$ .

$- C = - e$

Bước 4.15

Chia mỗi số hạng trong $- C = - e$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.1

Chia mỗi số hạng trong $- C = - e$ cho $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Bước 4.15.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Bước 4.15.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Bước 4.15.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$C = \frac{e}{1}$

Bước 4.15.3.2

Chia $e$ cho $1$ .

$C = e$

Bước 5

Thay $e$ cho $C$ trong $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $e$ bằng $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$