Giải tích Ví dụ

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $u t^{2}$ ra ngoài $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $u t^{2}$ ra ngoài $u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Đưa $u t^{2}$ ra ngoài $u^{4} t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

Bước 1.1.1.3

Đưa $u t^{2}$ ra ngoài $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

Bước 1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

Bước 1.1.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 1$ và $b = u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

Bước 1.1.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

Bước 1.1.4.1.2

Viết lại $- 1 u$ ở dạng $- u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Bước 1.1.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.2

Nhân $u$ với $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.3

Nhân $u$ với $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.4

Khai triển $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $u \cdot u^{2}$ và $u^{2} (- u)$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.5.2

Trừ $u^{2} u$ khỏi $u^{2} u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.5.3

Cộng $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ và $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Nhân $u$ với $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.6.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.6.3

Nhân $u$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.3.1

Di chuyển $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.6.3.2

Nhân $u$ với $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.6.4

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.6.5

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.5.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.6.5.2

Cộng $2$ và $2$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.7

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.1

Cộng $- u^{2}$ và $u^{2}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.7.2

Cộng $u$ và $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Bước 1.4.8

Nhân $\frac{7 + t^{4}}{t^{2}}$ với $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{7 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Bước 1.4.9

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{7 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.10

Nhân $u + u^{4}$ với $\frac{7 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.11.1

Đưa $u$ ra ngoài $u + u^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.11.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11.1.2

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11.1.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{4}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11.1.4

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11.3

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.11.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.11.4.2

Viết lại $- 1 u$ ở dạng $- u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.12

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.12.2

Viết lại biểu thức.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (7 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.13

Triệt tiêu thừa số chung $1 + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.13.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.13.2

Viết lại biểu thức.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.14

Triệt tiêu thừa số chung $1 - u + u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

Bước 1.4.14.2

Viết lại biểu thức.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.7

Sắp xếp lại $u$ và $1$ .

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.8

Di chuyển $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.9

Sắp xếp lại $u$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.10

Di chuyển $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.11

Sắp xếp lại $u$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.12

Di chuyển $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.13

Sắp xếp lại $u$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.14

Di chuyển $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.15

Sắp xếp lại $u$ và $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.16

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.17

Nhân $u$ với $1$ .

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.18

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.19

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.20

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.21

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.23

Cộng $1$ và $1$ .

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.24

Nhân $u$ với $1$ .

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.25

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.26

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.27

Cộng $1$ và $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.28

Nhân $u$ với $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.29

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.30

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.31

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.32

Cộng $1$ và $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.33

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.34

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.35

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.36

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.37

Cộng $1$ và $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.38

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.39

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.40

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.41

Cộng $2$ và $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.42

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.43

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.44

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.45

Cộng $1$ và $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.46

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.47

Cộng $2$ và $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.48

Sắp xếp lại $u$ và $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.49

Di chuyển $u$ .

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.50

Sắp xếp lại $- u^{2}$ và $u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.51

Sắp xếp lại $u^{2}$ và $- u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.52

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.53

Sắp xếp lại $- u^{3}$ và $u^{4}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.54

Di chuyển $u$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.55

Di chuyển $- u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.56

Sắp xếp lại $u^{3}$ và $u^{4}$ .

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.57

Trừ $u^{3}$ khỏi $u^{3}$ .

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.58

Cộng $u^{4}$ và $0$ .

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.59

Trừ $u^{2}$ khỏi $u^{2}$ .

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.1.60

Cộng $u^{4}$ và $0$ .

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Di chuyển $t^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Bước 2.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) t^{- 2} d t$

Bước 2.3.2

Nhân $(7 + t^{4}) t^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

Bước 2.3.3

Nhân $t^{4}$ với $t^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

Bước 2.3.3.2

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{2} d t$

Bước 2.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Bước 2.3.5

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- 2}$ đối với $t$ là $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- t^{- 1} + C_{4}) + \int t^{2} d t$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- t^{- 1} + C_{4}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Rút gọn.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- \frac{1}{t}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Bước 2.3.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - 7 \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Bước 2.3.8.2.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{- 7}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Bước 2.3.8.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{7}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{7}{t} + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{7}{t} + K$