Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

Bước 1

Trừ $x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - x d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int x d x}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Bước 2.2.3

Viết lại $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Bước 2.4

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giả sử $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = - x d x$ , nên $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Hãy đặt $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Bước 7.1.1.2

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x)$

Bước 7.1.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

Bước 7.1.1.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x$

Bước 7.1.1.4.3

Kết hợp $\frac{- 2}{2}$ và $x$ .

$\frac{- 2 x}{2}$

Bước 7.1.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2}$

Bước 7.1.1.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.4.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Bước 7.1.1.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.1.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x}{1}$

Bước 7.1.1.4.4.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$- x$

Bước 7.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = e^{u_{1}}$ và $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.4

Kết hợp ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.5

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.6

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.7

Nhân $3$ với $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.9

Kết hợp ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.4.10

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.6.2

Nhân $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ với $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Bước 7.7

Vì $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7.8

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Bước 7.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Viết lại $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ ở dạng $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.2.1

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.9.2.2

Kết hợp ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.9.2.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Bước 7.9.2.4

Kết hợp $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Bước 7.9.2.5

Cộng $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ và $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

Bước 7.9.2.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Bước 7.9.2.7

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ cho $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ cho $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$