Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 1}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2.4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 7.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 7.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Bước 7.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 7.4.2.2

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 7.4.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 7.4.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 7.4.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Bước 7.4.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 7.4.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 7.4.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 7.4.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 7.4.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 7.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.6

Rút gọn.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn $2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Bước 8.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn $(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

Bước 8.4.2.1.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Bước 8.4.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Bước 8.4.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

Bước 8.4.2.1.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

Bước 8.4.2.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

Bước 8.4.2.1.2.5

Cộng $2$ và $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Bước 8.4.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Bước 8.4.2.1.4

Di chuyển $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.4.2.1.5

Sắp xếp lại $x \ln (x^{2})$ và $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$