Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $8 x y$ ra ngoài $8 x^{3} y - 8 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $8 x y$ ra ngoài $8 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

Bước 1.1.1.2

Đưa $8 x y$ ra ngoài $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

Bước 1.1.1.3

Đưa $8 x y$ ra ngoài $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

Bước 1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

Bước 1.1.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

Bước 1.1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Bước 1.3.2

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

Bước 1.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

Bước 1.3.5

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

Bước 1.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

Bước 1.3.7

Khai triển $(x^{2} + x) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

Bước 1.3.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

Bước 1.3.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Bước 1.3.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Bước 1.3.8.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Bước 1.3.8.1.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Bước 1.3.8.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Bước 1.3.8.1.3

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Bước 1.3.8.1.4

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

Bước 1.3.8.1.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

Bước 1.3.8.1.6

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

Bước 1.3.8.2

Cộng $- x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

Bước 1.3.8.3

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

Bước 1.3.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

Bước 1.3.10

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Bước 2.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 8$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ ở dạng $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$