Giải tích Ví dụ

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Bước 1.2

Vì $e^{x^{3}}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ đối với $y$ là $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} y - x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Bước 1.4

Vì $3 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} y$ đối với $y$ là $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Bước 1.6

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Bước 1.7

Vì $- x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Bước 1.8

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Bước 1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 1.9.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3 x^{2} e^{x^{3}}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 x^{2} e^{x^{3}}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = e^{x^{3}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x^{3}} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{x^{3}} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Viết lại.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 9.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Bước 9.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Bước 9.1.1.4

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Bước 9.1.1.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 9.1.1.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Bước 9.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Trừ $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ khỏi $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Bước 9.1.2.2.2

Cộng $- x^{2} e^{x^{3}}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- x^{2} e^{x^{3}}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Bước 10.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Bước 10.4

Giả sử $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Sau đó $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Bước 10.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 10.4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 10.4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 10.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Bước 10.4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 10.4.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 10.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 10.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Bước 10.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Viết lại $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Bước 10.6.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $e^{x^{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Bước 12.2

Trừ $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ khỏi $e^{x^{3}} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Sắp xếp lại $e^{x^{3}}$ và $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Bước 12.2.2

Để viết $y e^{x^{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Bước 12.2.3

Kết hợp $y e^{x^{3}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Bước 12.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Bước 12.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Bước 12.3.2

Đưa $e^{x^{3}}$ ra ngoài $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Đưa $e^{x^{3}}$ ra ngoài $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Bước 12.3.2.2

Đưa $e^{x^{3}}$ ra ngoài $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Bước 12.3.2.3

Đưa $e^{x^{3}}$ ra ngoài $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$