Giải tích Ví dụ

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Bước 1

Trừ $(y^{2} + 1) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{y^{2} + 1}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ vào tử số.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.4.2

Đưa $y^{2} + 1$ ra ngoài $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Bước 3.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia $y^{2}$ cho $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Bước 4.2.1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $y^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Bước 4.2.1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Bước 4.2.1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $y^{2} + 0 + 1$

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Bước 4.2.1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Bước 4.2.1.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.5.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.6

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.7

Rút gọn.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Bước 4.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Viết lại $- (- x^{- 1} + C_{4})$ ở dạng $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 4.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 4.3.4.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$