Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8}{x - 7}$ , $y (8) = - 9$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = - \frac{8}{x - 7} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{8}{x - 7} d x$

Bước 2.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x - 7} d x)$

Bước 2.3.3

Nhân $8$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x - 7} d x$

Bước 2.3.4

Giả sử $u = x - 7$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u = x - 7$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Bước 2.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.3.4.1.4

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 8 (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$y + C_{1} = - 8 \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 7$ .

$y + C_{1} = - 8 \ln (| x - 7 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $8$ cho $x$ và $- 9$ cho $y$ trong $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ .

$- 9 = - 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$ .

$- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$

Bước 4.2

Rút gọn $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Trừ $7$ khỏi $8$ .

$- 8 \ln (| 1 |) + C = - 9$

Bước 4.2.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$- 8 \ln (1) + C = - 9$

Bước 4.2.1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- 8 \cdot 0 + C = - 9$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 8$ với $0$ .

$0 + C = - 9$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $C$ .

$C = - 9$

Bước 5

Thay $- 9$ cho $C$ trong $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 9$ bằng $C$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) - 9$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $- 8 \ln (| x - 7 |)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$y = - \ln ({| x - 7 |}^{8}) - 9$

Bước 5.2.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x - 7 |}^{8}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = - \ln ({(x - 7)}^{8}) - 9$