Giải tích Ví dụ

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$ cho $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 1.3

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia $x + 2$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Bước 2.2.1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Bước 2.2.1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Bước 2.2.1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Bước 2.2.1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Bước 2.2.1.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Bước 2.2.4

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.2.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{x + 2}{x + 1}$ và $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $e^{x + \ln (x + 1)}$ và $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.3

Để viết $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $e^{x + \ln (x + 1)}$ ra ngoài $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Đưa $e^{x + \ln (x + 1)}$ ra ngoài $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.5.1.2

Đưa $e^{x + \ln (x + 1)}$ ra ngoài $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.5.1.3

Đưa $e^{x + \ln (x + 1)}$ ra ngoài $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.5.3

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Bước 3.6

Nhân $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp $e^{x + \ln (x + 1)}$ và $\frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Bước 3.6.2

Nhân $e^{x + \ln (x + 1)}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.6.2.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.6.2.4

Cộng $0$ và $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Viết lại.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Bước 3.7.2

Nhân $e^{x + \ln (x + 1)}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.7.2.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.7.2.4

Cộng $0$ và $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Bước 3.7.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2 x}{x + 1}$

Bước 3.7.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Bước 3.8

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Bước 3.8.2

Chia $2 x$ cho $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Bước 3.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2 x$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 x d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 x d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 \int x d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 1 x^{2} + C$

Bước 7.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ cho $e^{x + \ln (x + 1)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ cho $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$