Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\sin (2 y)$ .

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\sin (2 y) d y = \cos (3 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \sin (2 y) d y = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = 2 y$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 2.2.1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.2.1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1})) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2.5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (u_{1})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 y$ .

$- \frac{\cos (2 y)}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = 3 x$ . Sau đó $d u_{2} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.3.1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin^{2} (y)$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} - - \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2.1.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.2.1.4.2

Nhân $\sin^{2} (y)$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân ba cho sin.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) + K$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x)) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Bước 3.3.1.3

Nhân $\frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4}{3} \sin^{3} (x) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Bước 3.3.1.3.2

Kết hợp $\frac{- 4}{3}$ và $\sin^{3} (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Bước 3.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 (\sin (x))) + K$

Bước 3.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Bước 3.3.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Bước 3.3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Bước 3.4

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $\frac{1}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}$

Bước 3.4.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sin (y) = \pm \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Bước 3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\sin (y) = \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Bước 3.4.3.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$y = \arcsin (\sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Bước 3.4.3.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\sin (y) = - \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Bước 3.4.3.4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$y = \arcsin (- \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Bước 3.4.3.5