Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x + 1$ , $y (2) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (x + 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x + 1 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x + 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $2$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Bước 4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Bước 4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 + 2 + K = 3$

Bước 4.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$4 + K = 3$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 3 - 4$

Bước 4.3.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$K = - 1$

Bước 5

Thay $- 1$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 1$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$