Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + x}$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{1}{2 + x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 2 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 2 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = \ln (| 2 + x |) + C$ .

$3 = \ln (| 2 + 0 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$ .

$\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$

Bước 4.2

Rút gọn $\ln (| 2 + 0 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\ln (| 2 |) + C = 3$

Bước 4.2.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (2) + C = 3$

Bước 4.3

Trừ $\ln (2)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 3 - \ln (2)$

Bước 5

Thay $3 - \ln (2)$ cho $C$ trong $y = \ln (| 2 + x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3 - \ln (2)$ bằng $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + 3 - \ln (2)$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| 2 + x |}{2}) + 3$