Giải tích Ví dụ

$(x y + y^{2}) d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x y + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x + 2 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y - 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2 y - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Bước 2.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Bước 2.6.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x + 2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y = 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x + 2 y = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x + 2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{N}$

Bước 4.3

Thay $x + 2 y - 1$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x + 2 y - 1$ bằng $N$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x + 2 y - 1}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x + 2 y - 1}{x + 2 y - 1}$

Bước 4.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x y + y^{2}) d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x y + y^{2}$ với $e^{x}$ .

$(x y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y - 1) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x + 2 y - 1$ với $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y - 1) e^{x} d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x} - 1 e^{x}) d y = 0$

Bước 6.5

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x} - e^{x}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} - e^{x} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x} - e^{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y + \int - e^{x} d y$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y + \int - e^{x} d y$

Bước 8.3

Vì $2 e^{x}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 e^{x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y + \int - e^{x} d y$

Bước 8.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - e^{x} d y$

Bước 8.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - e^{x} y + C$

Bước 8.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - e^{x} y + C$

Bước 8.7

Rút gọn.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x e^{x} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.3.5

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.4

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{x} y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.5

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{x} y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} - y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} - y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.6

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} - y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.2.1

Trừ $y e^{x}$ khỏi $y e^{x}$ .

$y x e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.7.2.2

Cộng $y x e^{x} + y^{2} e^{x}$ và $0$ .

$y x e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 11.7.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

Bước 12.1.2

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.3.2

Cộng $y^{2} e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.3.3

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 13.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 13.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} - e^{x} y + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} + C$