Giải tích Ví dụ

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ cho $2 x y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ cho $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Bước 1.1.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.2.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Bước 1.1.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Bước 1.1.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{2 x}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $f (\frac{y}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\frac{x}{y}$ ra ngoài $\frac{x}{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $\frac{x}{y}$ ra ngoài $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x}$

Bước 1.2.1.2

Sắp xếp lại $\frac{x}{y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{2 x}$

Bước 1.2.2

Viết lại $\frac{x}{y}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{2 x}$

Bước 1.3

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{1}{2} V$

Bước 6.1.1.1.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{1}{2} V$

Bước 6.1.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}$

Bước 6.1.1.2

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Để viết $- V$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.1

Kết hợp $- V$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $V - V \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Đưa $V$ ra ngoài $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Đưa $V$ ra ngoài $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Đưa $V$ ra ngoài $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1

Để viết $- \frac{V}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.2

Nhân $\frac{V}{2}$ với $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.4.2

Viết lại $V \cdot V$ ở dạng $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.4.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.6

Nhân $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Bước 6.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.1

Đưa $2 V$ ra ngoài $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Bước 6.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Bước 6.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Bước 6.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $(1 + V) (1 - V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Bước 6.1.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $V$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Giả sử $u = (1 + V) (1 - V)$ . Sau đó $d u = - 2 V d V$ , nên $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Hãy đặt $u = (1 + V) (1 - V)$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Bước 6.2.2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ là $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ trong đó $f (V) = 1 + V$ và $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - V$ đối với $V$ là $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $V$ , đạo hàm của $1$ đối với $V$ là $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $V$ , nên đạo hàm của $- V$ đối với $V$ là $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.6.3

Viết lại $- 1 (1 + V)$ ở dạng $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + V$ đối với $V$ là $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Bước 6.2.2.2.1.3.8

Vì $1$ là hằng số đối với $V$ , đạo hàm của $1$ đối với $V$ là $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Bước 6.2.2.2.1.3.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Bước 6.2.2.2.1.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Bước 6.2.2.2.1.3.11

Nhân $1 - V$ với $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Bước 6.2.2.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Bước 6.2.2.2.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.4.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Bước 6.2.2.2.1.4.2.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- V + 0 - V$

Bước 6.2.2.2.1.4.2.3

Cộng $- V$ và $0$ .

$- V - V$

Bước 6.2.2.2.1.4.2.4

Trừ $V$ khỏi $- V$ .

$- 2 V$

Bước 6.2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.9

Rút gọn.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Khai triển $(1 + | x |) (1 - | x |)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2.1.2

Nhân $- | x |$ với $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2.1.3

Nhân $| x |$ với $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2.1.5

Nhân $| x |$ với $| x |$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.5.1

Di chuyển $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2.1.5.2

Nhân $| x |$ với $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2.2

Cộng $- | x |$ và $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.3

Cộng $\ln (| x |)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Bước 6.3.4

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 6.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 6.3.4.2.2

Chia $\ln (| 1 - V^{2} |)$ cho $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 6.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 6.3.4.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Bước 6.3.4.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Bước 6.3.4.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot \ln (| x |)$ ở dạng $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Bước 6.3.5

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Bước 6.3.6

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Bước 6.3.7

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Bước 6.3.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Bước 6.3.9

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Bước 6.3.10

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Bước 6.3.11

Viết lại $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Bước 6.3.12

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.1

Viết lại phương trình ở dạng $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Bước 6.3.12.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Bước 6.3.12.3

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Bước 6.3.12.4

Chia mỗi số hạng trong $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ cho $- x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ cho $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 6.3.12.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 6.3.12.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 6.3.12.4.2.2.2

Chia $V^{2}$ cho $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 6.3.12.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.4.3.1.1

Rút gọn $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 6.3.12.4.3.1.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 6.3.12.4.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.4.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 6.3.12.4.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Bước 6.3.12.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Bước 6.3.12.6

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.6.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Bước 6.3.12.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Bước 6.3.12.6.3

Viết lại $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Bước 6.3.12.6.4

Nhân $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Bước 6.3.12.6.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.6.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Bước 6.3.12.6.5.2

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Bước 6.3.12.6.5.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Bước 6.3.12.6.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.12.6.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Bước 6.3.12.6.5.6

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.6.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.12.6.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.12.6.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.12.6.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.12.6.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.12.6.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Bước 6.3.12.6.5.6.5

Rút gọn.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Bước 6.3.12.6.6

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Bước 6.3.12.6.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Bước 6.4

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Bước 8.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$