Giải tích Ví dụ

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $- \frac{1}{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

Bước 1.2.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

Bước 1.2.3

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

Bước 1.2.4

Rút gọn.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

Bước 1.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

Bước 1.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$t^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2 t}$ và $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.4

Nhân $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân $\frac{z}{2 t}$ với $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.4.2

Nhân $t$ với $t^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.4.2.2

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.4.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.4.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.2.4.2.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ với $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $0$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

Bước 6.2

Cộng $0$ và $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

Bước 7

Giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ và $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

Bước 7.2

Nhân cả hai vế với $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Bước 7.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$