Giải tích Ví dụ

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Bước 2

Giả sử $v = y^{2}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Bước 3

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Bước 4

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Bước 4.3

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Bước 5

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $v$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Bước 5.3.2

Chia $\frac{d v}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Bước 5.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Bước 5.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Bước 5.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Bước 5.4.2.5

Chia $- 2 x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Bước 5.5

Đưa $v$ ra ngoài $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Bước 5.6

Sắp xếp lại $v$ và $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Bước 6

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Bước 6.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 6.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 6.2.4

Rút gọn.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Bước 6.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x)}$

Bước 6.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Bước 6.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 1}$

Bước 6.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 7

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.5

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Nhân $\frac{v}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Bước 7.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Bước 7.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Bước 7.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Bước 8

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Bước 9

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Bước 10

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Bước 11

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Bước 11.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 11.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 11.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Bước 11.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Bước 11.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Bước 11.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Bước 11.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Bước 11.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Bước 12

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Bước 12.2

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Bước 12.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$v = (- x^{2} + C) x$

Bước 12.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Rút gọn $(- x^{2} + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$v = - x^{2} x + C x$

Bước 12.3.2.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Bước 12.3.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Bước 12.3.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Bước 12.3.2.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Bước 14

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Bước 14.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3} + C x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Bước 14.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Bước 14.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Bước 14.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Bước 14.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Bước 14.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$