Giải tích Ví dụ

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Vì $6 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $6 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Bước 1.5

Cộng $0$ và $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

Bước 2.2

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $y (2 x - 3)$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.7

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Bước 2.8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 y = 2 y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = y (2 x - 3)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2 x - 3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 x - 3$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 5.3

Viết lại $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.2

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.6

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.7

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.8

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.9

Kết hợp $\frac{y^{2}}{2}$ và $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.10

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.11

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.3.11.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $6 x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $6 x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Bước 10.3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 6 \int x d x$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.6

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.8

Sắp xếp lại các thừa số của $x y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.9

Kết hợp $y^{2} x$ và $- \frac{3 y^{2}}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.9.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $x$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.9.2

Để viết $x y^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.9.3

Kết hợp $x y^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.10.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.10.1.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.10.1.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $- 3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.10.1.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.1.10.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Bước 12.2

Để viết $3 x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 12.3

Kết hợp $3 x^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Bước 12.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Bước 12.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Bước 12.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Bước 12.5.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Bước 12.5.4

Nhân $2$ với $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$